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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
d) $f(x)=x \cdot e^{-x}$
d) $f(x)=x \cdot e^{-x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
Reportar problema
\( \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^{-x} = -\infty \) (Atenti, regla de signos acá!)
Ahora, ojo con este:
\( \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} \)
Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito", no te olvides regla de signos y que $e^{-\infty} = 0$. Reescribimos como un cociente:
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} \)
Ahora es una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \)
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y=0$ en $+\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - x \cdot e^{-x} = (1 - x) \cdot e^{-x} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
\( (1 - x) \cdot e^{-x} = 0 \)
Dado que \( e^{-x} \) nunca es cero, el único punto crítico está dado por \( 1 - x = 0 \), es decir, \( x = 1 \).
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < 1 \)
b) \( x > 1 \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $x < 1$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
b) Para $x > 1$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: